Homöopathie und Mathematik

Kann ein mathematisches Modell die Herstellung der homöopathischen Arzneien reflektieren?
Hahnemann Organon VI §269: „Man hört noch täglich die homöopathischen Arznei-Potenzen bloss >>Verdünnung<< (= exponentieller Zerfall) nennen, da sie doch das Gegenteil derselben sind, d.i. zu Tage-Förderung… der in ihrem inneren Wesen verborgenen… Arzneikräfte…“.

1.) Das Potenzieren mit seinen Verdünnungsfolgen zn (bei jedem Schritt: konstante Zugabe von z.B. 2 Trpf. potenziertem Ethanol zu exakt 198 Trpf. nicht-potenziertem Ethanol) und den jeweiligen Schüttelimpulsen1 p (z.B. 30 oder 100 pro Schritt zn) geschieht in gleichbleibenden Schritten z0, z1, z2, z3,….zn unter gleichzeitiger Übertragung jener Informationen I, welche den Arzneien als komplexe Symptome implizit sind und im neuen Trägermedium m schrittweise abgespeichert werden. Jede weitere Periode zn+1 greift auf das Ergebnis der vorgängigen Periode zn zurück entsprechend einer rekursiven Folge2. Deshalb bleibt zunächst die für kontinuierliches Wachstum übliche Exponentialfunktion ƒ(x) = ax und deren oft sinnes-physiologisch verwendete (z.B. Schalldruckmessung) Umkehrfunktion ƒ-1(x) = loga(x) ausgeschlossen. Der Graph unten zeigt die ins Unendliche strebende Exponentialfunktion und gespiegelt an der Winkelhalbierenden y = x deren Logarithmus.

Exponentialfunktion

2.) Des Weiteren müssen wir die Hypothese akzeptieren, dass Wasser fähig sein sollte (Quanten-) Informationen zu speichern bis zu einer bestimmten (Sättigungs-) Grenze.

3.) Zuletzt ist die Homöopathie nach der Erkenntnis von Hahnemann und seinen Nachfolgern in allen Bereichen ein holistisches System, das sich mathematisch durch die Multiplikation von Eigenschaften (Faktoren, Quotienten, Potenzen) verstehen lässt. (Die gewöhnliche Addition von Symptomen mit ihren Wertigkeiten zur Mittelfindung erfüllt den Anspruch NICHT, dass das Ganze MEHR sei als die Summe seiner Teile).

Welche Funktionsgleichung kann den Potenziervorgang abbilden?

Ein Wachstumsprozess in zeitlichen Schritten zn ähnlich unserer Vorstellung vom Potenzieren ist uns aus der Populationsdynamik mit ihrer logistischen Parabel3 bekannt. In ihr sind enthalten die jährlich vorhandene Population Zn (Menge der Population zur Zeit der Stufe Zn bis zur nächsten Menge Zn+1), und der Faktor l, der die Parameter Geburts- und Überlebensraten enthält (analog den homöopathischen Schüttelimpulsen p und dem Speicherpotenzial m, siehe unten). Die logistische Rekursionsformel  zur abgebildeten logistischen Parabel lautet:

Zn+1 = l · Zn · (1 - Zn)

Logistische Parabel

Der Parabelgraph ist nach unten geöffnet. Zn+1 wird Null (schneidet die x-Achse), wenn Zn = 0 oder Zn = 1 ist. Die Gleichung enthält eine Rückkoppelung, was vernünftig ist, wächst doch in den jährlichen Geburtsperioden Zn+1 (mit konstanten Nahrungs- und Risikofaktoren l) die Population zunächst steil, dann langsamer, um im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden hier bei Zn = etwa 0.65 einen Stabilwert  zu erlangen.

Das Potenzieren als rekursive Aufbereitung einer arzneilichen Substanz

Wir übertragen obige Gleichung auf den Potenziervorgang, der in solchen rekursiven Schritten verläuft. Z.B. wissen wir von Constantin Hering4  im Zusammenhang mit der Potenzierung von Lachesis, dass allein durch Einnahme der Urtinktur ca. 20 Symptome an den Probanden registriert werden konnten, Z0 auf der Abszisse führt somit auf der Ordinate zum Ergebnis von ~ 20 Symptomen als Startpunkt. Lachesis verfügt bei der Potenz C200 über ca. 1500 Symptome (c.f. die Software amokoor5), das Ergebnis von Z200 wäre somit ~ 1500 Symptome. Es macht den Anschein, dass die ermittelte Anzahl Symptome im Bereiche einer C200 therapeutisch ein Optimum darstellt, doch ist anzunehmen, dass der volle Informationseintrag nicht erreicht ist (mathematisch gar nicht erreicht werden kann).

Wir bezeichnen den jeweiligen Symptomeneintrag bei den einzelnen Potenzierschritten  mit „Informationsgehalt“ In und nehmen an, dass pro Schritt der Informationseintrag von In zu In+1 abhängig ist von den Schüttelimpulsen p = konstante Anzahl, Kraft und Drall der Schüttelimpulse, was sich rekursiv zunächst so schreiben lässt:

In+1In + p · In = (1 + p) · In

Diese Gleichung führt jedoch zu exponentiellem Wachstum. Sie erfüllt zwar die Beobachtung der Homöopathen, „…dass die rohen Arzneisubstanzen (Urtinktur) durch Reiben oder Schütteln... ihre Arzneikraft immer mehr entfalten… je weiter… fortgesetzt wird…“6, und „dass bei jeder Dynamisation (Potenzierschritte) neue, bisher gleichsam schlummernde Kräfte (=Symptome, also „Zeichen“ und „Modalitäten“) aufgeschlossen werden“7, aber sie vernachlässigt die Beobachtung, dass mit zunehmenden Potenzierschritten der Eintragsgewinn kleiner wird (obwohl noch wertvolle Symptome hinzutreten).

Auch ist das Speichermedium m noch im Detail zu erklären, welches homöopathisch definiert wird durch die Potenzierart, z.B. 1:10 (D-Potenzen), 1:100 (C-Potenzen) oder 2:198 usw.  Dazu Hering8: „bei 1:1‘000 sind schon die Billionstel sehr leicht und schnell wirkend... Gross ist der Nutzen der Potenzen mit 1 zu 1‘000 Tropfen (potenziert) in der Praxis“. Eine Potenz wirkt am „stärksten“ nach Bönninghausen, wenn sie schneller, sicherer (grösserer Symptomenumfang) und sanfter wirkt, abgeleitet von seinem „citu, tuto, iucunde“, oder nach §2 Organon: „schnell, sanft, dauerhaft… in ihrem ganzen Umfang auf dem kürzesten,… unnachteiligsten Weg“. Das „Speichermedium“ m dient bei der Anfertigung der Arznei als Lösungsmittel, dann als Hilfsmittel für p (kinetische Energie) und zuletzt als Informationsspeicher m. m ist somit im Impuls p = m · v bereits vorhanden. Wenn obige Aussage Herings (1:1‘000) richtig ist, erfolgt bei einer grösseren Trägermasse m pro Schritt früher ein höherer Informationseintrag, weil die grössere Masse m den Impuls p erhöht.

Wie die Arzneimittellehre zeigt, besitzt jede Arznei in ihrem Symptomenumfang eine obere Grenze konvergierend bis zu einem theoretisch maximalen Informationsgehalt = Imax, so dass der jeweilige Eintrag beim Potenzieren abnehmen und schliesslich versiegen muss. Je grösser die Distanz des bis zur Stufe n übermittelten Informationsgehalts In zur maximalen Informationsmenge Imax ist, formal Imax – In, desto grösser ist der Informationsgewinn pro Abspeicherung. Daraus ergibt sich die logistische rekursive Formel:

In+1 = (1 + p) · (Imax – In) · In

Die Mathematiker Field und Golubitsky9 (Sidney und Houston) vereinfachten diese Formel, indem sie definierten: In : Imax = xn, bzw. In = xn · Imax, bzw. Imax = In : xn. Indem man diese Gleichungen in die obige Formel einsetzt (xn implementieren, In eliminieren) und die zuletzt verbleibenden Parameter in der Konstanten H zusammenfasst, entsteht die Formel:

xn+1  = H · xn · (1 – xn)

Der Parameter H fasst die Besonderheiten des Schüttelvorganges zusammen, nämlich den Schüttelimpuls p als (1 + p) und die Information I als Imax2. Es gehört zum Wesen dieser Formel, dass H markante Werte besitzt: Ist H<1, dann tendiert das Ergebnis gegen 0 (letztlich keine Information), ist 3<H<4, wird das Verhalten chaotisch und bei H>=4 droht der „Absturz“: Ergebnis = Null. Diese Grenzen ergeben sich aus der Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden: Ist die Steigung betragsmässig kleiner als 1, ergibt sich Konvergenz gegen diesen Schnittpunkt (siehe zum Verständnis www.mathematik-sehen-und-verstehen.de). Im Diagramm lässt sich dies auf einfache Weise darstellen: Schneidet die Parabel die Winkelhalbierende y = x im Koordinatensystem rechts von x = 2/3 (siehe obigen Parabel-Graphen), dann wird das System chaotisch. Anders ausgedrückt: Übersteigt die Parabel-Amplitude H den Wert 3/4 (siehe Parabelgraph), droht Chaos im Informationsfluss und zuletzt die Vernichtung des Informationseintrages. Zum Verständnis lohnt es sich, eine Veränderung von H bzw. speziell von m auf http://www2.leuphana.de/masuv/ zu verfolgen.

Theoretische Konsequenzen aus dem impliziten Grenzwert der Rekursionsformel

Um ein realistisches Resultat zu erhalten, muss der Parameter H im Bereich  1<H<3 liegen, welcher der logistischen Rekursion inhärent ist. Die Informationsspeicherung ist abhängig von H, welche beinhaltet den Impuls p (mit dessen Art, Anzahl und Masse m) und die Information I als Imax2. Imax2 (bzw. I) und p besitzen eine obere (und untere) Grenze! Dieses Modell postuliert deshalb, dass es für jede Arznei eine optimale Potenzstufe geben muss, und dass der Informationsgehalt der beim Potenzieren verwendeten Lösung wieder abnehmen kann. Es gäbe noch mehrere Folgerungen aus den hoch sensiblen Grenzbereichen von H, was vor allem bei den Experimenten zum „Gedächtnis des Wassers“ berücksichtigt werden müsste, nicht zuletzt in Erinnerung an Samuel Hahnemann‘s Anspruch an die Homöopathie (Leipzig 1817, 2. Ausgabe der Reinen Arzneimittellehre): „Macht’s nach, aber macht’s genau und sorgfältig nach, und ihr werdet sie auf jedem Schritt bestätigt finden…“.

Beim Versuch einer mathematischen Definition des Potenziervorganges geht es um die Entwicklung einer Gleichung, „um den einen oder andern charakteristischen Zug natürlicher Systeme einzufangen und auf seine Konsequenzen zu untersuchen“10. Es sollte ferner gezeigt werden, dass der Potenziervorgang unter der Hypothese der Speicherfähigkeit von Ethanol sich als „Teil eines übergeordneten mathematischen Apparates“ (Eilenberger11) modellieren lässt.

 Autor:
Urs Steiner, Dr. med.
Klassische Homöopathie SAHP/SVHA
Staldenstrasse 10, CH-6405 Immensee

 Bemerkungen und Hinweise:
1 C.f. Schweiz. Zeitschrift f. Ganzheitsmedizin Heft 7/8/1993
2 Haftendorn Dörte: Mathematik sehen und verstehen, Heidelberg 2011, Spektrum V. ISBN 978-3-8274-2044-2
3 Mannheimer Forum 89/90, München 1990, Piper GmbH ISBN 3-492-11104-1
4 Hering C., Medizinische Schriften Band 1, 1988 Göttingen, Burgdorf V. ISBN 3-922345-25-5
5 amokoor-Software, Greising Back Office, Dorfhaldenstr. 5, CH-6052 Hergiswil
6 Hahnemann Samuel, Reine Arzneimittellehre Band V Dresden und Leipzig 1822, Seite 123
7 Bönninghausens Kleine medizinischen Schriften, Heidelberg 1984, Arkana V. ISBN 3-920042-13-1 (S. 679)
8 Hering C. Herings Medizinische Schriften Band II, 1988 Göttingen, Burgdorf V. ISBN 3-922345-25-5
9 Field M., Golubitsky M.: Chaotische Symmetrien, 1993 Basel, Birkhäuser V. ISBN 3-7643-2844-4
10 Mannheimer Forum (s.o.), S. 110
11 Mannheimer Forum (s.o.), S 123