Homöopathie und Mathematik

Kann ein mathematisches Modell die Herstellung der homöopathischen Arznei erklären?

Hahnemann Organon VI §269: «Man hört noch täglich die homöopathischen Arznei-Potenzen bloss >>Verdünnung<< nennen, da sie doch das Gegenteil derselben sind, d.i. zu Tage-Förderung… der in ihrem inneren Wesen verborgenen… Arzneikräfte…».

Das Potenzieren mit seinen Verdünnungsfolgen z0, z1, z2, z3….zn (bei jeder Folge Zugabe von z.B. exakt 2 Trpf. potenziertem zu exakt 198 Trpf. nicht-potenziertem Ethanol) und den jeweiligen Schüttelimpulsen p (z.B. 100 pro Schritt zn) verläuft im Gleichschritt mit der Entkoppelung jener Informationen I (= «Symptome»), welche in der arzneilichen Grundsubstanz inhärent sind und im Lösungsmedium m abgespeichert werden. In jeder weiteren Periode zn+1 wird auf das Ergebnis der vorgängigen Periode zn zurückgegriffen. Diese serielle Verdünnungsreihe mit Aufbau von Informationen, die am Menschen zu Symptomen führen, leiten mathematisch über zur rekursiven Folge. Sie wird modifiziert durch die Konstante λ, welche bestimmte Parameter wie nachfolgend z.B. den Impuls p beinhaltet. Die diesbezügliche exponentielle Rekursionsformel lautet:

zn+1 = l · zn       (1)

 Wie könnte die «Entkoppelung» der Information verstanden werden?

Für die Verbindung zweier Elemente des Periodensystems ist deren Elektronen-konfiguration entscheidend. Ihre Orbitale (s, p, d, f) vervollständigen sich mit den Elektronen des jeweilig andern Elements nach dem Pauli-Prinzip (die Eigenschaften der je zwei Orbital-Elektronen können nur gleich sein infolge ihrer Phasenverschiebung). So wird die dadurch entstandene chemische Verbindung nach aussen neutralisiert und abgeschirmt. Allein durch einen Impuls, d.h. durch eine Interaktion, welche diese Konfiguration «aufbricht», wird der Informationsgehalt frei und nur dadurch kann etwas Neues (z.B. ein Molekül) entstehen. Dieses verifizierte Modell bietet sich auch als Modell für den (gespeicherten) Informationseintrag beim Potenzieren an.

Das logistische Wachstum als Modell

Ein Informationsgewinn lässt sich analog zum biologischen Wachstum als logistische Parabel darstellen. Zunächst muss die Rekursionsformel (1) mit (1 - zn) zur logistischen Rekursionsformel (2) modifiziert werden:

zn+1 = l · zn · (1 - zn)          (2)

 Logistische Parabel

Der dazugehörende Graph, transformiert aus zn+1 = ƒ(x), ist eine nach unten (weil negatives Vorzeichen von zn2) geöffnete Parabel. zn+1 wird Null (schneidet die x-Achse), wenn zn = 0 oder zn = 1 ist. Die Rückkoppelung = (1 - zn) bewirkt ein progressives, gestuftes Wachstum bis zu einem Stabilwert hier bei etwa zn = 0.64 (im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden), gefolgt allenfalls von einer Regression (abnehmender Informationseintrag).

Das Potenzieren als rekursive Aufbereitung einer arzneilichen Substanz

Der Potenziervorgang, der in solchen rekursiven Schritten verläuft, soll nun zunächst auf die Gleichung (1) übertragen werden. Z.B. wissen wir von Constantin Hering  im Zusammenhang mit der Potenzierung von Lachesis, dass allein durch die Einnahme der Urtinktur ca. 20 Symptome an den Probanden registriert werden konnten, z0 auf der Abszisse führt somit auf der Ordinate zum Ergebnis von ~ 20 Symptomen als Startpunkt. Lachesis verfügt bei der Potenz C200 über ca. 1500 Symptome (c.f. die Software amokoor), das Ergebnis von z200 wäre somit ~ 1500 Symptome. Es ist anzunehmen, dass der Informationseintrag mit der C200 annähernd vollständig ist.

Eine Zunahme des im Lösungsmedium m abgespeicherten Symptomeneintrags In (z.B. 50 Symptome) bezeichnen wir mit «Informationsgewinn» In+1 (z.B. 10 Symptome) in der Annahme, dass bei jedem weiteren Potenzierschritt In zu In+1 in Abhängigkeit vom Schüttelimpuls p und dem bereits vorhandenen In der Informationseintrag um den Betrag In+1 schrittweise wächst, was sich rekursiv so schreiben lässt:

In+1 ≈ In + p · In = (1 + p) · In        (3)

Diese Gleichung, formal identisch mit der Gleichung (1), führt auch zu exponentiellem Wachstum. Sie entspricht der Beobachtung der Homöopathen, «…dass die rohen Arzneisubstanzen (Urtinktur) durch Reiben oder Schütteln... ihre Arzneikraft immer mehr entfalten… je weiter… fortgesetzt wird…», und «dass bei jeder Dynamisation (Potenzierschritte) neue, bisher gleichsam schlummernde Kräfte (Zeichen und Modalitäten) aufgeschlossen werden», aber sie vernachlässigt die Beobachtung, dass nach Erreichen der höchsten Potenzstufen der Informationsgewinn nur noch gering ist.

 Zu erklären ist noch das Lösungsmedium m. Es wird definiert mit der Potenzierart, z.B. 1:10 (D-Potenzen), 1:100 (C-Potenzen) oder 2:198 usw.  Dazu Hering: «bei 1:1‘000 (Verdünnung) sind schon die Billionstel (1:10004) sehr leicht und schnell wirkend... Gross ist der Nutzen der Potenzen mit 1 zu 1‘000 Tropfen (potenziert) in der Praxis». Das Lösungsmedium m dient einerseits zur Verdünnung der Arznei und anderseits als Faktor im Schüttel-Impuls (kinetische Energie). m wird folglich im Impuls p = m ∙ v aufgerechnet. Wenn obige Aussage Herings (1:1‘000) richtig ist, erfolgt bei einer grösseren Trägermasse m pro Schritt ein grösserer Informationseintrag, weil die grössere Masse m bei gleichbleibendem v den Impuls p erhöht.

Die Arzneimittellehre lässt vermuten, dass der Symptomenumfang jeder Arznei eine obere Grenze Imax besitzt. Der jeweilige Informationseintrag wächst zusammen mit dem Informationsgewinn von Potenzstufe zu Potenzstufe, wogegen letzterer mit Annäherung an Imax, formal - Imax – In - schliesslich gegen Null konvergiert. Daraus formiert sich aus der Rekursionsformel (3) die logistische Rekursionsformel: 

In+1 = (1 + p) · (Imax – In) · In       (4)

Diese Formel kann nun in ihre Standardform transformiert werden, indem man die Informationsdichte definiert: xn = In : Imax (In eliminieren durch Implementieren von xn · Imax, und In+1 umtaufen in xn+1). Die verbleibenden Parameter (1 + p) und Imax2 werden in der Konstanten H zusammengefasst. Die logistische Rekursionsformel als Standardform (5) und die entsprechende logistische Parabel (6) lauten:

x n+1 = H · xn · (1 – xn)      (5) 

ƒ(x) = H · x · (1 – x)         (6)

 Es gehört zum Wesen dieser Formeln, dass H markante Werte besitzt: Ist H<1, tendiert das Ergebnis gegen 0 (= abnehmender Informationseintrag); ist 3<H<4, wird das Verhalten nicht-linear chaotisch und bei H = 4 ist der Gewinn = Null. Diese Grenzen ergeben sich aus der Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden, was sich auf einfache Weise darstellen lässt: Schneidet die Parabel die Winkelhalbierende y = x im Koordinatensystem rechts von x ≈ 2/3 (siehe Parabel-Graph), beginnt die chaotische Phase und es droht gar ein Verlust im Informationseintrag.

 Theoretische Konsequenzen aus dem impliziten Grenzwert der Rekursionsformel

Der Parameter H beinhaltet den Impuls p (mit dessen Kraft, Anzahl und Masse m) und die Informationsmenge Imax quadriert. p besitzt eine obere Grenze, weil der Informationsfluss im Bereich 3<H<4 chaotisch wird («ausser Kontrolle») und der Eintrag wieder abnehmen kann. Um ein realistisches Resultat zu erhalten muss der Parameter H im Bereich 1<H<3 liegen, welcher der logistischen Rekursion inhärent ist. Dieses Modell postuliert somit, dass es für jede Arznei eine optimale Potenzstufe gibt und die höheren Potenzen den grösseren Informationseintrag mit Grenzbereich besitzen als die niederen. In Anbetracht des sensiblen Grenzbereichs von H sei an Samuel Hahnemann‘s Anspruch an die Homöopathen erinnert (Leipzig 1817, 2. Ausgabe der Reinen Arzneimittellehre): «Macht’s nach, aber macht’s genau und sorgfältig nach, und ihr werdet sie (die Homöopathie) auf jedem Schritt bestätigt finden…».

Beim Versuch einer mathematischen Definition des Potenziervorgangs geht es um die Entwicklung einer Gleichung, «um den einen oder andern charakteristischen Zug natürlicher Systeme einzufangen und auf seine Konsequenzen zu untersuchen» und dass sich der Potenziervorgang als «Teil eines übergeordneten mathematischen Apparates» (Eilenberger) modellieren lässt. Und der letzte Grund: «Cogito, ergo sum». Differenzierter formuliert: Nachdenken bereichert das Leben.

 Autor:

 Urs Steiner, Dr. med.

 Staldenstrasse 10, CH-6405 Immensee

 Verwendete Quellen:
1 Schweiz. Zeitschrift f. Ganzheitsmedizin Heft 7/8/1993
2 Haftendorn Dörte: Mathematik sehen und verstehen, Heidelberg 2011, Spektrum V. ISBN 978-3-8274-2044-2
3 Mannheimer Forum 89/90, München 1990, Piper GmbH ISBN 3-492-11104-1
4 Hering C., Medizinische Schriften Band 1, 1988 Göttingen, Burgdorf V. ISBN 3-922345-25-5
5 amokoor-Software, Greising Back Office, Dorfhaldenstr. 5, CH-6052 Hergiswil
6 Hahnemann Samuel, Reine Arzneimittellehre Band V Dresden und Leipzig 1822, Seite 123
7 Bönninghausens Kleine medizinischen Schriften, Heidelberg 1984, Arkana V. ISBN 3-920042-13-1 (S. 679)
8 Hering C. Herings Medizinische Schriften Band II, 1988 Göttingen, Burgdorf V. ISBN 3-922345-25-5
9 Field M., Golubitsky M.: Chaotische Symmetrien, 1993 Basel, Birkhäuser V. ISBN 3-7643-2844-4