Kann ein mathematisches Modell die Wirksamkeit einer homöopathischen Arznei möglicherweise erklären?

Hahnemann Organon VI §269: «Man hört noch täglich die homöopathischen Arznei-Potenzen bloss >>Verdünnung<< nennen, da sie doch das Gegenteil derselben sind, d.i. zu Tage-Förderung… der in ihrem inneren Wesen verborgenen… Arzneikräfte…».

Das Potenzieren mit seinen Verdünnungsfolgen z_0, z₁, z₂, z₃….z_n (bei jeder Folge Zugabe von z.B. 2 Trpf. potenziertem zu exakt 198 Trpf. nicht-potenziertem Ethanol) und den jeweiligen Schüttelimpulsen p (z.B. 100 pro Schritt z_n) verläuft theoretisch im Gleichschritt mit der Entkoppelung jener Informationen I (= «Symptome»), welche in der arzneilichen Grundsubstanz inhärent sind und im Lösungsmedium m abgespeichert werden müssen. In jeder weiteren Periode z_n+1 wird auf das Ergebnis der vorgängigen Periode z_n zurückgegriffen. Diese Verdünnungsreihe mit gleichzeitigem Eintrag von Informationen, die am Menschen bei systematischer Einnahme (Arzneimittelprüfung) zu Symptomen führen, leiten mathematisch über zur rekursiven Folge. Sie wird modifiziert durch die Konstante λ, welche bestimmte Parameter z.B. den Impuls p beinhaltet. Die diesbezügliche exponentielle Rekursionsformel lautet:

z_n+1 = l · z_n       (1)

Wie könnte die «Entkoppelung» der Information verstanden werden?

Für die Verbindung zweier Elemente des Periodensystems ist deren Elektronen-Konfiguration entscheidend. Ihre Orbitale (s, p, d, f) vervollständigen sich mit den Elektronen des jeweilig andern Elements nach dem Pauli-Prinzip (die Eigenschaften der je zwei Orbital-Elektronen können nur gleich sein infolge ihrer Phasenverschiebung). Allein durch einen Impuls, d.h. durch eine Interaktion, welche diese Konfiguration «aufbricht», kann etwas Neues entstehen. Dieses verifizierte Modell bietet sich als Modell für den Informationseintrag durch Photonen beim Potenzieren an.

Das logistische Wachstum als Modell

Ein Informationsgewinn lässt sich analog zum biologischen Wachstum als logistische Parabel darstellen. Zunächst muss die exponentielle Rekursionsformel (1) mit Hilfe von (1 - z_n) zur logistischen Rekursionsformel (2) modifiziert werden:

z_n+1 = l · z_n · (1 - z_n)       (2)

Der dazugehörende Graph, transformiert aus z_n+1 = ƒ(x), ist eine nach unten (weil - z_n²) geöffnete Parabel. z_n+1 wird Null (schneidet die x-Achse), wenn z_n = 0 oder z_n = 1 ist. Die Rückkoppelung = (1 - z_n) bewirkt ein progressives, gestuftes Wachstum bis zu einem Stabilwert in diesem Beispiel bei etwa z_n = 0.64 (im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden), gefolgt allenfalls von einem abnehmenden Informationseintrag.

Das Potenzieren als rekursive Aufbereitung einer arzneilichen Substanz

Der Potenziervorgang, der grundsätzlich in rekursiven Schritten verläuft, soll zunächst auf die Gleichung (1) übertragen werden. Z.B. wissen wir von Constantin Hering  im Zusammenhang mit der Potenzierung von Lachesis, dass allein durch die Einnahme der Urtinktur ca. 20 Symptome an den Probanden registriert werden konnten, z₀ auf der Abszisse führt somit auf der Ordinate zum Ergebnis von ~ 20 Symptomen als Startpunkt. Lachesis verfügt in einer Hochpotenz über ca. 1500 vernetzte Symptome. Es ist anzunehmen, dass der Informationseintrag damit vollständig ist.

Eine Zunahme des im Lösungsmedium m abgespeicherten Symptomeneintrags I_n bezeichnen wir mit «Informationsgewinn» I_n+1 in der Annahme, dass bei jedem weiteren Potenzierschritt I_n zu I_n+1 in Abhängigkeit vom Schüttelimpuls p und dem bereits vorhandenen I_n der Informationseintrag um den Betrag I_n+1 wächst, rekursiv geschrieben:

I_n+1 ≈ I_n + p · I_n = (1 + p) · I_n        (3)

Diese Gleichung, formal identisch mit der Gleichung (1), führt zu exponentiellem Wachstum. Sie entspricht der Beobachtung der Homöopathen, «…dass die rohen Arzneisubstanzen (Urtinktur) durch Reiben oder Schütteln... ihre Arzneikraft immer mehr entfalten… je weiter… fortgesetzt wird…», und «dass bei jedem Potenzierschritt neue, bisher gleichsam schlummernde Kräfte aufgeschlossen werden», aber sie vernachlässigt die Beobachtung, dass nach Erreichen der höchsten Potenzstufen der Informationsgewinn nur noch gering ist oder allenfalls abnehmend.

 Zu erklären ist noch das Lösungsmedium m. Es wird definiert mit der Potenzierart, z.B. 1:10 (D-Potenzen), 1:100 (C-Potenzen) oder 2:198 usw.  Dazu Hering: «bei 1:1‘000 (Verdünnung) sind schon die Billionstel (1:1000⁴) sehr leicht und schnell wirkend... Gross ist der Nutzen der Potenzen mit 1 zu 1‘000 Tropfen in der Praxis». Das Lösungsmedium m dient als kinetische Energie für den Schüttel-Impuls. m wird folglich im Impuls p = m ∙ v aufgerechnet. Wenn obige Aussage Herings (1:1‘000) richtig ist, erfolgt bei einer grösseren Trägermasse m pro Schritt ein grösserer Informationseintrag, weil die grössere Masse m bei gleichbleibendem v den Impuls p erhöht.

Die Arzneimittellehre lässt vermuten, dass der Symptomenumfang jeder Arznei eine obere Grenze I_max besitzt. Der jeweilige Informationseintrag wächst zusammen mit dem Informationsgewinn von Potenzstufe zu Potenzstufe, wogegen letzterer mit Annäherung an I_max, formal I_max – I_n schliesslich gegen Null konvergiert. Daraus formiert sich aus der Rekursionsformel (3) die logistische Rekursionsformel: 

I_n+1 = (1 + p) · (I_max – I_n) · I_n       (4)

Diese Formel kann nun in ihre Standardform transformiert werden, indem man die Informationsdichte definiert: x_n = I_n : I_max (I_n eliminieren durch Implementieren von x_n · I_max, und I_n+1 umtaufen in x_n+1). Die verbleibenden Parameter (1 + p) und I_max² werden in der Konstanten H zusammengefasst unter der Annahme dass der Impuls pro Anwendung immer gleich bleibt und dass jede Arznei ein I_max besitzt. Die logistische Rekursionsformel als Standardform (5) und die entsprechende logistische Parabel (6) lauten:

x _n+1 = H · x_n · (1 – x_n)      (5) 

ƒ(x) = H · x · (1 – x)         (6)

Es gehört zum Wesen dieser Formeln, dass H markante Werte besitzt: Ist H<1, tendiert das Ergebnis gegen 0 (= abnehmender Informationseintrag); ist 3<H<4, wird das Verhalten chaotisch und bei H = 4 ist der Gewinn = Null. Diese Grenzen ergeben sich aus der Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden, was sich auf einfache Weise darstellen lässt: Schneidet die Parabel die Winkelhalbierende y = x im Koordinatensystem rechts von x ≈ ²/₃ (siehe Parabel-Graph), beginnt die chaotische Phase und es droht ein Verlust im Informationseintrag.

 Theoretische Konsequenzen aus dem impliziten Grenzwert der Rekursionsformel

Der Parameter H beinhaltet den Impuls p (mit dessen Kraft, Anzahl und Masse m) und die Informationsmenge I_max quadriert. p besitzt eine obere Grenze, weil der Informationsfluss im Bereich 3<H<4 chaotisch wird und der Eintrag wieder abnehmen kann. Um ein realistisches Resultat zu erhalten muss der Parameter H im Bereich 1<H<3 liegen, welcher der logistischen Rekursion inhärent ist. Dieses Modell postuliert somit, dass es für jede Arznei eine optimale Potenzstufe gibt und die höheren Potenzen den grösseren Informationseintrag mit Grenzbereich besitzen als die niederen. In Anbetracht des sensiblen Grenzbereichs von H sei an Samuel Hahnemann‘s Anspruch an die Homöopathen erinnert (Leipzig 1817, 2. Ausgabe der Reinen Arzneimittellehre): «Macht’s nach, aber macht’s genau und sorgfältig nach, und ihr werdet sie (die Homöopathie) auf jedem Schritt bestätigt finden…».

Beim Versuch einer mathematischen Definition des Potenziervorgangs geht es um die Entwicklung einer Gleichung, «um den einen oder andern charakteristischen Zug natürlicher Systeme einzufangen und auf seine Konsequenzen zu untersuchen» und dass sich der Potenziervorgang als «Teil eines übergeordneten mathematischen Apparates» (Eilenberger) modellieren lässt. Der beschriebene Vorgang ist ein mögliches Modell.

Autor:

 Urs Steiner, Dr. med.

 Staldenstrasse 10, CH-6405 Immensee

 Verwendete Quellen:
1 Schweiz. Zeitschrift f. Ganzheitsmedizin Heft 7/8/1993
2 Haftendorn Dörte: Mathematik sehen und verstehen, Heidelberg 2011, Spektrum V. ISBN 978-3-8274-2044-2
3 Mannheimer Forum 89/90, München 1990, Piper GmbH ISBN 3-492-11104-1
4 Hering C., Medizinische Schriften Band 1 und 2, 1988 Göttingen, Burgdorf V. ISBN 3-922345-25-5
5 Hahnemann Samuel, Reine Arzneimittellehre Band V Dresden und Leipzig 1822, Seite 123
6 Bönninghausens Kleine medizinischen Schriften, Heidelberg 1984, Arkana V. ISBN 3-920042-13-1 (S. 679)
7 Field M., Golubitsky M.: Chaotische Symmetrien, 1993 Basel, Birkhäuser V. ISBN 3-7643-2844-4